螺旋式千斤顶优化设计

1 数学模型的建立

手动螺旋千斤顶主要包括底座、棘轮、圆锥齿轮副、托杯、传动螺纹副等部分。千斤顶最大起重量是其最主要的性能指标之一。千斤顶在工作过程中，传动螺纹副承受主要的工作载荷，螺纹副工作寿命决定千斤顶使用寿命，故传动螺纹副的设计最为关键，其设计与最大起重量、螺纹副材料、螺纹牙型以及螺纹头数等都有关系。

1.1 目标函数与设计变量

手动螺旋千斤顶在满足设计性能和要求的前提下，从结构紧凑、减轻重量、节省材料和降低成本考虑。在给出千斤顶最大起重量、传动螺纹副材料及其屈服应力、螺纹头数等基本设计要求和圆锥齿轮副等已定的情况下，可从螺纹副设计着手考虑，使螺纹副所用材料最少，即在满足设计性能的情况下，传动螺杆、螺母所占体积最少。

螺杆的体积为：v1=πd22L/2

螺母的体积为：v2=π(D′2-D22)H/4

式中：d2——螺杆中径，mm；

D′——螺母外径（虚拟），mm；

D2——螺母中径，mm；

L——螺杆总长，mm；

H——螺母高度，mm.

考虑到传动效率要求较高和螺纹受力较大等因素，千斤顶一般采用锯齿形螺纹传动，其大径、中径、小径之间有如下关系：

d2=d－0.75P

d1=d－1.736P

且内、外螺纹有如下关系：D＝d;D2=d2;

式中，D2、d2为内、外螺纹中径；P为螺距;D、d为内、外螺纹大径；d1为内螺纹小径。

则目标函数（即传动螺纹副体积之和）为：

V=V1+V2=πL(d-0.75P)2-/4+π〔D′2--(d-0.75P)2-〕H/4

从目标函数表达式中可以看出，L、D′均为常量，而螺距P取值虽为整数，但其取值随螺纹公称直径而变化，这里将其作为变量。故变量有d、H、P 三个，记作：

X=〔x1,x2，x3〕T=〔d,H，P〕T

目标函数表达式为：

V(x)=πL(x1-0.75x3)3/4+π〔D′2-(x1-0.75x3)2〕x2/4

1.2 优化约束条件

1.2.1 约束条件分析

(1)耐磨性条件

锯齿形螺纹工作高度h：h=0.75P

根据手动螺旋千斤顶传动螺纹副滑动速度较低，及螺母和螺杆材料等条件，查取许用比压〔p〕：

计算比压为：p=FP/[(d-0.75P)πhH]＜〔p〕

(2) 螺纹的自锁条件

螺旋升角ψ：ψ=arctanP/πd2=arctanP/[π(d-0.75P)]

当量摩擦角ρv=arctanuv，uv为螺纹副当量摩擦系数。

自锁条件为：ψ＜ρv－(1°～1.5°),即

arctanP/[π(d-0.75P)]＜ρv－(1°～1.5°)

(3)螺杆的强度条件

螺纹危险截面面积A为：A=π(d-1.736P)2/4

螺杆所受转矩T：T=F·tan(ψ+ρv)(d－0.75P)/2

当量应力为：

式中，F为千斤顶最大起重量，单位为N.

查表,确定许用应力〔σ〕.

当量应力应小于许用应力，即：σca＜〔σ〕

(4) 螺纹牙剪切强度条件

按机械性能较弱的螺母材料进行计算：

螺母的外径D等于螺杆外径d：D=d

螺纹牙根厚b：b=0.75P

螺纹旋合圈数z：z=H/P

查表取得许用剪切应力〔τ〕.

按剪切强度进行计算：τ=F/(πDbz)=F/(πd·0.75P·H/P)，τ＜〔τ〕.

(5)螺纹牙弯曲强度条件

同样，取机械性能较弱的螺母材料进行计算。

按弯曲强度进行计算：σb=3F(D-D2)/(πDb2z)=3F(d-d2)/(πDb2z)=3F〔d-(d-0.75P)〕/(πDb2z)

σb＜〔σb〕.

对静载，许用应力应取较大值。

(6)螺杆的稳定性条件

确定螺杆的柔度λ值：λ=μL/i

式中，μ为螺杆的长度系数，L为螺杆的总长度，i为螺杆危险截面惯性半径，i=d1/4.

螺杆的长度系数根据螺纹副固定形式取值。

λ值小于许用值〔λ〕，即：λ＜〔λ〕.

(7)螺杆公称直径取值范围

查《机械设计手册》，取d值范围为：20mm≤d≤650mm.

(8)螺母最大高度（螺纹啮合长度）范围：30 mm≤H≤280 mm.

(9)螺纹螺距取值范围

查《机械设计手册》，得P值范围为2 mm≤P≤24 mm.

1.2.2 约束条件

约束条件表达式如下：

g1(x)=F-〔0.75π(x1-0.75x3)x2〕〔p〕≤0

g2(x)=arctanx3/[π(x1-0.75x3)]-ρv+(1°～1.5°)≤0

g4(x)=F/(0.75πx1x2)-〔τ〕≤0

g5(x)=3F/(0.75πx1x2)-〔σb〕≤0

g6(x)=4μL/(x1-1.736x3)-〔λ〕≤0

g7(x)=30-x2≤0

g8(x)=x2-280≤0

g9(x)=20-x1≤0

g10(x)=x1-650≤0

g11(x)=2-x3≤0

g12(x)=x3-24≤0

2 优化方法

本问题有三个变量12个约束条件，采用MATLAB优化工具对其进行优化设计。

3 优化设计实例

某厂生产一种手动螺旋千斤顶，最大设计起重量为40 kN，螺纹为锯齿形，螺杆材料采用40Cr，热处理HRC45～50，σs=785Mpa，螺母用ZCuAl10Fe3，螺纹副当量摩擦系数为μv=0.13,千斤顶最大起重高度为130 mm,圆锥齿轮厚为30 mm,轴承固定端l0/d0=7/18。试设计传动螺纹副，使其结构紧凑、所用材料最省。

根据前面的数学建模，我们先通过查表或计算，得到约束条件的各个相关参数，然后再将其代入上述建模的约束条件，从而得到螺纹副的最优设计方案。

现将原设计与优化设计结果加以对照（表1），可以看出，优化设计后螺纹副体积比原设计减少12.51%。采用优化设计方法，不仅节省材料，降低工厂生产成本，而且节省设计时间。这有助于改革传统的设计方法，为新产品开发改进提供了有力的依据。